与えられた定積分 $\int_0^1 \frac{x-2}{x^2+x+1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_0^1 \frac{x-2}{x^2+x+1} dx$

を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分を扱いやすい形にするために、被積分関数を分解します。

$x^2+x+1$の微分は$2x+1$なので、分子を$2x+1$の形に近づけます。

$x - 2 = \frac{1}{2}(2x+1) - \frac{5}{2}$

したがって、

$\frac{x-2}{x^2+x+1} = \frac{1}{2} \frac{2x+1}{x^2+x+1} - \frac{5}{2} \frac{1}{x^2+x+1}$

ここで、積分を2つに分けます。

$\int_0^1 \frac{x-2}{x^2+x+1} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx - \frac{5}{2} \int_0^1 \frac{1}{x^2+x+1} dx$

最初の積分は、置換積分で計算できます。

$u = x^2+x+1$とすると、$du = (2x+1)dx$。

積分範囲は$x: 0 \to 1$に対して$u: 1 \to 3$となります。

$\int_0^1 \frac{2x+1}{x^2+x+1} dx = \int_1^3 \frac{1}{u} du = [\ln u]_1^3 = \ln 3 - \ln 1 = \ln 3$

次に、2番目の積分を計算します。

$x^2+x+1 = (x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$

$\int_0^1 \frac{1}{x^2+x+1} dx = \int_0^1 \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx$

$x+\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta$ と置換すると、

$dx = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta$

積分範囲は$x: 0 \to 1$に対して$\theta: \arctan(\frac{1}{\sqrt{3}}) \to \arctan(\sqrt{3})$、つまり$\theta: \frac{\pi}{6} \to \frac{\pi}{3}$となります。

$\int_0^1 \frac{1}{(x+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{\frac{3}{4} \tan^2 \theta + \frac{3}{4}} \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{4}{3} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sec^2 \theta}{\sec^2 \theta} d\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} d\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} [\theta]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}\pi}{9}$

したがって、

$\int_0^1 \frac{x-2}{x^2+x+1} dx = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{5}{2} \frac{\sqrt{3}\pi}{9} = \frac{1}{2} \ln 3 - \frac{5\sqrt{3}\pi}{18}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 3 - \frac{5\sqrt{3}\pi}{18}$