定積分 $\int_a^x t^2 f(t) dt = e^x - 3$ を満たす定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$x > 0$ とする。

1. 問題の内容

定積分 $\int_a^x t^2 f(t) dt = e^x - 3$ を満たす定数 $a$ の値を求めよ。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

まず、与えられた等式の両辺を $x$ で微分します。積分の上端が $x$ である定積分を微分すると、被積分関数に $x$ を代入したものが現れます。

$\frac{d}{dx} \int_a^x t^2 f(t) dt = \frac{d}{dx} (e^x - 3)$

左辺は積分区間 $[a, x]$ の積分を $x$ で微分しているので、積分変数の $t$ を $x$ に置き換えることで $x^2 f(x)$ が得られます。右辺は $e^x - 3$ を $x$ で微分するので、$e^x$ となります。したがって、

$x^2 f(x) = e^x$

より、

$f(x) = \frac{e^x}{x^2}$

が得られます。

次に、元の等式に $f(t) = \frac{e^t}{t^2}$ を代入します。

$\int_a^x t^2 \frac{e^t}{t^2} dt = e^x - 3$

$\int_a^x e^t dt = e^x - 3$

左辺を計算すると、

$[e^t]_a^x = e^x - e^a$

したがって、

$e^x - e^a = e^x - 3$

$e^a = 3$

$a = \log 3$

3. 最終的な答え

$a = \log 3$