与えられた三角関数の式を、$r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha \le \pi$ とします。 具体的には、以下の3つの式を変換します。 (1) $\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta$ (2) $\sin\theta - \cos\theta$ (3) $2\sin\theta + 3\cos\theta$

1. 問題の内容

与えられた三角関数の式を、$r\sin(\theta + \alpha)$ の形に変形する問題です。ただし、$r > 0$、$-\pi < \alpha \le \pi$ とします。

具体的には、以下の3つの式を変換します。

(1) $\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta$

(2) $\sin\theta - \cos\theta$

(3) $2\sin\theta + 3\cos\theta$

2. 解き方の手順

三角関数の合成公式を利用します。

$a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$

ただし、$r = \sqrt{a^2 + b^2}$、$\cos\alpha = \frac{a}{r}$、$\sin\alpha = \frac{b}{r}$

(1) $\sqrt{3}\cos\theta - \sin\theta$

$a = -1$, $b = \sqrt{3}$ なので、

$r = \sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1+3} = 2$

$\cos\alpha = \frac{-1}{2}$、$\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、$\alpha = \frac{2}{3}\pi$

(2) $\sin\theta - \cos\theta$

$a = 1$, $b = -1$ なので、

$r = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

$\cos\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$、$\sin\alpha = \frac{-1}{\sqrt{2}}$

したがって、$\alpha = -\frac{\pi}{4}$

(3) $2\sin\theta + 3\cos\theta$

$a = 2$, $b = 3$ なので、

$r = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13}$

$\cos\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}}$、$\sin\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}}$

$\alpha = \arctan{\frac{3}{2}}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sin(\theta + \frac{2}{3}\pi)$

(2) $\sqrt{2}\sin(\theta - \frac{\pi}{4})$

(3) $\sqrt{13}\sin(\theta + \arctan{\frac{3}{2}})$