$ \frac{\pi}{2} \le x \le \pi $ において、2つの曲線 $y = \sin 2x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ において、2つの曲線 $y = \sin 2x$ と $y = \cos x$ で囲まれた部分の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、積分区間 $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ で $\sin 2x$ と $\cos x$ の大小関係を調べる。

$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ である。

区間 $\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$ において、$\sin x \ge 0$ であり、$\cos x \le 0$ である。

よって、$\sin 2x = 2 \sin x \cos x \le 0$ である。

一方、$\cos x \le 0$ である。

$\sin 2x = \cos x$ となる $x$ を求める。

$2 \sin x \cos x = \cos x$

$2 \sin x \cos x - \cos x = 0$

$\cos x (2 \sin x - 1) = 0$

$\cos x = 0$ のとき、$x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$。区間は$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$なので、$x = \frac{\pi}{2}$。

$2 \sin x - 1 = 0$ のとき、$\sin x = \frac{1}{2}$。区間は$\frac{\pi}{2} \le x \le \pi$なので、$x = \frac{5\pi}{6}$。

したがって、$\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{5\pi}{6}$ では $\cos x \ge \sin 2x$ であり、$\frac{5\pi}{6} \le x \le \pi$ では $\sin 2x \ge \cos x$ である。

面積Sは次の積分で計算できる。

$S = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}} (\cos x - \sin 2x) dx + \int_{\frac{5\pi}{6}}^{\pi} (\sin 2x - \cos x) dx$

$\int \cos x dx = \sin x + C$

$\int \sin 2x dx = - \frac{1}{2} \cos 2x + C$

$S = [\sin x + \frac{1}{2} \cos 2x]_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{5\pi}{6}} + [-\frac{1}{2} \cos 2x - \sin x]_{\frac{5\pi}{6}}^{\pi}$

$S = (\sin \frac{5\pi}{6} + \frac{1}{2} \cos \frac{5\pi}{3}) - (\sin \frac{\pi}{2} + \frac{1}{2} \cos \pi) + (-\frac{1}{2} \cos 2\pi - \sin \pi) - (-\frac{1}{2} \cos \frac{5\pi}{3} - \sin \frac{5\pi}{6})$

$S = (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) - (1 + \frac{1}{2} \cdot (-1)) + (-\frac{1}{2} \cdot 1 - 0) - (-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2})$

$S = (\frac{1}{2} + \frac{1}{4}) - (1 - \frac{1}{2}) + (-\frac{1}{2}) - (-\frac{1}{4} - \frac{1}{2})$

$S = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{2}$

$S = \frac{3}{4} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$

$S = \frac{4}{4} - \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$