関数 $f(t)$ に対して、$\int_{a}^{x} t^{2} f(t) dt = e^{x} - 3$ という等式が与えられている。この等式を満たす定数 $a$ の値を求める問題。ただし、$x > 0$ とする。

1. 問題の内容

関数 $f(t)$ に対して、$\int_{a}^{x} t^{2} f(t) dt = e^{x} - 3$ という等式が与えられている。この等式を満たす定数 $a$ の値を求める問題。ただし、$x > 0$ とする。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた等式 $\int_{a}^{x} t^{2} f(t) dt = e^{x} - 3$ の両辺を $x$ で微分する。積分の微分に関する基本定理より、

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\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} t^{2} f(t) dt = x^{2} f(x)

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また、右辺の微分は、

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\frac{d}{dx} (e^{x} - 3) = e^{x}

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したがって、$x^{2} f(x) = e^{x}$ となる。

(2) 次に、元の積分 $\int_{a}^{x} t^{2} f(t) dt = e^{x} - 3$ において、$x = a$ を代入すると、積分の定義より左辺は0になる。

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\int_{a}^{a} t^{2} f(t) dt = 0

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したがって、$e^{a} - 3 = 0$ となる。

(3) $e^{a} - 3 = 0$ を解く。

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e^{a} = 3

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両辺の自然対数をとると、

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\ln(e^{a}) = \ln 3

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a = \ln 3

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3. 最終的な答え

$a = \ln 3$