与えられた積分を計算します。 $\int \frac{dx}{\sqrt{1+3x}}$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int \frac{dx}{\sqrt{1+3x}}$

2. 解き方の手順

まず、置換積分を行います。

$u = 1+3x$ と置くと、$du = 3dx$ となります。

したがって、$dx = \frac{1}{3} du$ です。

元の積分に代入すると、

$\int \frac{dx}{\sqrt{1+3x}} = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{3}du = \frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} du$

となります。

$u^{-\frac{1}{2}}$ の積分は、

$\int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} + C = 2\sqrt{u} + C$

となります。

したがって、

$\frac{1}{3} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{3} (2\sqrt{u}) + C = \frac{2}{3} \sqrt{u} + C$

最後に、$u = 1+3x$ を代入すると、

$\frac{2}{3} \sqrt{1+3x} + C$

となります。

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3} \sqrt{1+3x} + C$