関数 $f(\theta) = -(\cos \theta)^2 - \sin \theta + 2$ について、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲における最小値と最大値を求め、そのときの$\theta$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = -(\cos \theta)^2 - \sin \theta + 2$ について、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$ の範囲における最小値と最大値を求め、そのときの$\theta$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ を利用して、関数を$\sin \theta$のみで表します。

$f(\theta) = -(1-\sin^2 \theta) - \sin \theta + 2 = \sin^2 \theta - \sin \theta + 1$

ここで、$t = \sin \theta$ と置くと、$-\frac{\pi}{2} \le \theta \le \frac{\pi}{2}$より、$-1 \le t \le 1$となります。

$f(\theta)$を$t$で表すと、$g(t) = t^2 - t + 1$となります。

$g(t)$を平方完成すると、$g(t) = (t - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$となります。

これは下に凸な放物線で、軸は$t = \frac{1}{2}$です。

$-1 \le t \le 1$の範囲で、$g(t)$は$t = -1$で最大値、$t = \frac{1}{2}$で最小値を取ります。

$t = -1$のとき、$\sin \theta = -1$なので、$\theta = -\frac{\pi}{2}$。このとき、$f(\theta) = (-1)^2 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3$。

$t = \frac{1}{2}$のとき、$\sin \theta = \frac{1}{2}$なので、$\theta = \frac{\pi}{6}$。このとき、$f(\theta) = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{4}$。

したがって、

$\theta = \frac{\pi}{6}$のとき、最小値$\frac{3}{4}$をとり、

$\theta = -\frac{\pi}{2}$のとき、最大値$3$をとります。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{6}$ で最小値 $\frac{3}{4}$ をとり、

$\theta = -\frac{\pi}{2}$ で最大値 $3$ をとる。