不定積分 $\int x\cos 2x \, dx$ を求める問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int x\cos 2x \, dx$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = x$ と $dv = \cos 2x \, dx$ とおくと、

$du = dx$ であり、$v = \int \cos 2x \, dx = \frac{1}{2} \sin 2x$ となります。

したがって、

$\int x \cos 2x \, dx = x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x - \int \frac{1}{2} \sin 2x \, dx$

$= \frac{1}{2}x \sin 2x - \frac{1}{2} \int \sin 2x \, dx$

$\int \sin 2x \, dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C$ なので、

$\int x \cos 2x \, dx = \frac{1}{2}x \sin 2x - \frac{1}{2} \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) + C$

$= \frac{1}{2} x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$

3. 最終的な答え

$\int x\cos 2x \, dx = \frac{1}{2}x \sin 2x + \frac{1}{4} \cos 2x + C$