問題は、関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ について、$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲で考えるものです。$t = \cos\theta$ とおいたときの、$t$ の取りうる値の範囲、$y$ を $t$ の式で表したもの、そして $-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす $\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲に2個あるときの $k$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、関数 $y = -3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5$ について、$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲で考えるものです。$t = \cos\theta$ とおいたときの、$t$ の取りうる値の範囲、$y$ を $t$ の式で表したもの、そして $-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす $\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲に2個あるときの $k$ の取りうる値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t = \cos\theta$ の取りうる範囲を求めます。$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ において、$\cos\theta$ は減少関数なので、$\cos\pi \le \cos\theta \le \cos\frac{\pi}{3}$ となります。

したがって、$-1 \le t \le \frac{1}{2}$ が $t$ の取りうる範囲です。

次に、$y$ を $t$ の式で表します。$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - t^2$ なので、

$y = -3(1 - t^2) + 3t + 5 = -3 + 3t^2 + 3t + 5 = 3t^2 + 3t + 2$ となります。

$-3\sin^2\theta + 3\cos\theta + 5 = k$ を満たす $\theta$ が $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi$ の範囲に2個あるとき、$y = k$ となる $t$ が $-1 \le t \le \frac{1}{2}$ の範囲に2個ある必要があります。

$y = 3t^2 + 3t + 2 = 3(t^2 + t) + 2 = 3(t + \frac{1}{2})^2 - \frac{3}{4} + 2 = 3(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{5}{4}$ と変形できます。

これは $t = -\frac{1}{2}$ を軸とする下に凸の放物線です。

$t = -1$ のとき $y = 3(-1)^2 + 3(-1) + 2 = 3 - 3 + 2 = 2$

$t = \frac{1}{2}$ のとき $y = 3(\frac{1}{2})^2 + 3(\frac{1}{2}) + 2 = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 2 = \frac{3}{4} + \frac{6}{4} + \frac{8}{4} = \frac{17}{4}$

軸 $t = -\frac{1}{2}$ のとき $y = \frac{5}{4}$

$y = k$ となる $t$ が $-1 \le t \le \frac{1}{2}$ の範囲に2個ある条件は、$\frac{5}{4} < k \le 2$ です。

このとき，$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$y = \frac{5}{4}$ であり、これは$\theta = \frac{2}{3}\pi$ に対応します。

$k = 2$ のときは，$t = -1$に対応します。このとき，$\theta = \pi$ です。

3. 最終的な答え

$t$ の取りうる範囲: $-1 \le t \le \frac{1}{2}$

$y$ を $t$ の式で表したもの: $y = 3t^2 + 3t + 2$

$k$ の取りうる値の範囲: $\frac{5}{4} < k \le 2$