$\int_{a}^{x} f(t) dt = 7x^2 - 4x - 3$ が与えられたとき、以下の2つの問題を解く。 (1) 関数 $f(x)$ を求める。 (2) 定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\int_{a}^{x} f(t) dt = 7x^2 - 4x - 3$ が与えられたとき、以下の2つの問題を解く。

(1) 関数 $f(x)$ を求める。

(2) 定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を求める。

与えられた等式の両辺を $x$ で微分する。

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = \frac{d}{dx} (7x^2 - 4x - 3)$

微積分学の基本定理より、

$\frac{d}{dx} \int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$

また、

$\frac{d}{dx} (7x^2 - 4x - 3) = 14x - 4$

したがって、

$f(x) = 14x - 4$

(2) $a$ の値を求める。

与えられた等式に $x = a$ を代入すると、

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 7a^2 - 4a - 3$

$\int_{a}^{a} f(t) dt = 0$ であるから、

$7a^2 - 4a - 3 = 0$

この2次方程式を解く。

$(7a + 3)(a - 1) = 0$

$a = 1$ または $a = -\frac{3}{7}$

$\int_{a}^{x} f(t) dt = \int_{a}^{x} (14t - 4) dt = [7t^2 - 4t]_{a}^{x} = (7x^2 - 4x) - (7a^2 - 4a)$

したがって、$7x^2 - 4x - 3 = (7x^2 - 4x) - (7a^2 - 4a)$ であり、

$-3 = - (7a^2 - 4a)$

$7a^2 - 4a - 3 = 0$

よって、$a = 1$ または $a = -\frac{3}{7}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = 14x - 4$

(2) $a = 1, -\frac{3}{7}$