与えられた積分 $\int xe^{-x} dx$ を計算します。これは部分積分を使う問題です。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int xe^{-x} dx$ を計算します。これは部分積分を使う問題です。

2. 解き方の手順

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用います。

ここでは、$u = x$、$dv = e^{-x} dx$ とおきます。

すると、$du = dx$、$v = \int e^{-x} dx = -e^{-x}$ となります。

したがって、

$\int xe^{-x} dx = x(-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) dx$

$= -xe^{-x} + \int e^{-x} dx$

$= -xe^{-x} - e^{-x} + C$

$= -(x+1)e^{-x} + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

3. 最終的な答え

$\int xe^{-x} dx = -(x+1)e^{-x} + C$