与えられた極限の値を求める問題です。具体的には、 $$ \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right) $$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた極限の値を求める問題です。具体的には、

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2+1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2+2^2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2+n^2}} \right)$$

を計算します。

2. 解き方の手順

この極限は、リーマン和の形に帰着させて解くことができます。

まず、与えられた和をシグマ記号を使って書き換えます。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2+k^2}}$$

次に、$n^2$をルートの中からくくりだします。

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2(1+\frac{k^2}{n^2})}}$$

$$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n\sqrt{1+(\frac{k}{n})^2}}$$

$$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{1+(\frac{k}{n})^2}}$$

これは、関数 $f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ の区間$[0, 1]$におけるリーマン和に対応します。したがって、極限は以下の定積分で表されます。

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx$$

この積分は、逆双曲線関数を用いて計算できます。具体的には、

$$\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \mathrm{arcsinh}(x) + C = \log(x + \sqrt{1+x^2}) + C$$

したがって、

$$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}} dx = \mathrm{arcsinh}(1) - \mathrm{arcsinh}(0) = \mathrm{arcsinh}(1)$$

$$\mathrm{arcsinh}(1) = \log(1 + \sqrt{1+1^2}) = \log(1+\sqrt{2})$$

3. 最終的な答え

$$\log(1+\sqrt{2})$$