与えられた3つの定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} dx$ (2) $\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ (3) $\int_{1}^{2e} \frac{1}{x} dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの定積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} dx$

(2) $\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

(3) $\int_{1}^{2e} \frac{1}{x} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{27} \sqrt[3]{x} dx$

$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ なので、積分は $\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} dx$ となります。

$x^{\frac{1}{3}}$ の不定積分は $\frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}$ です。

したがって、定積分は

$\int_{1}^{27} x^{\frac{1}{3}} dx = \left[ \frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}} \right]_{1}^{27} = \frac{3}{4}(27^{\frac{4}{3}} - 1^{\frac{4}{3}}) = \frac{3}{4}((27^{\frac{1}{3}})^4 - 1) = \frac{3}{4}(3^4 - 1) = \frac{3}{4}(81-1) = \frac{3}{4}(80) = 60$

(2) $\int_{4}^{9} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

$\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ なので、積分は $\int_{4}^{9} x^{-\frac{1}{2}} dx$ となります。

$x^{-\frac{1}{2}}$ の不定積分は $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = 2x^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{x}$ です。

したがって、定積分は

$\int_{4}^{9} x^{-\frac{1}{2}} dx = \left[ 2\sqrt{x} \right]_{4}^{9} = 2(\sqrt{9} - \sqrt{4}) = 2(3-2) = 2(1) = 2$

(3) $\int_{1}^{2e} \frac{1}{x} dx$

$\frac{1}{x}$ の不定積分は $\ln |x|$ です。

したがって、定積分は

$\int_{1}^{2e} \frac{1}{x} dx = \left[ \ln |x| \right]_{1}^{2e} = \ln(2e) - \ln(1) = \ln(2) + \ln(e) - 0 = \ln(2) + 1$

3. 最終的な答え

(1) 60

(2) 2

(3) $\ln(2) + 1$