画像の定積分の問題を解きます。ここでは、1. (1)と2. (1)の問題を解きます。 1. (1) $\int_{-2}^{2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \, dx$

1. 問題の内容

画像の定積分の問題を解きます。ここでは、

1. (1)と

2. (1)の問題を解きます。

1. (1) $\int_{-2}^{2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \, dx$

2. (1) $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3}$

2. 解き方の手順

1. (1)

被積分関数を以下のように変形します。

$\frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} = \frac{x^2 + 4 - 8}{x^2 + 4} = 1 - \frac{8}{x^2 + 4}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{-2}^{2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \, dx = \int_{-2}^{2} (1 - \frac{8}{x^2 + 4}) \, dx = \int_{-2}^{2} 1 \, dx - 8 \int_{-2}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx$

$x = 2u$と置換すると、$dx = 2du$となり、積分範囲は$-1$から$1$になります。

$\int_{-2}^{2} \frac{1}{x^2 + 4} \, dx = \int_{-1}^{1} \frac{1}{4u^2 + 4} 2 \, du = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} \frac{1}{u^2 + 1} \, du = \frac{1}{2} [\arctan(u)]_{-1}^{1} = \frac{1}{2} (\arctan(1) - \arctan(-1)) = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4})) = \frac{\pi}{4}$

よって、

$\int_{-2}^{2} \frac{x^2 - 4}{x^2 + 4} \, dx = [x]_{-2}^{2} - 8(\frac{\pi}{4}) = (2 - (-2)) - 2\pi = 4 - 2\pi$

2. (1)

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{1+x^3}$

$x = \frac{1}{t}$と置換すると、$dx = -\frac{1}{t^2} dt$となり、積分範囲は$\infty$から$0$になります。

$\int_{\infty}^{0} \frac{-\frac{1}{t^2} dt}{1 + \frac{1}{t^3}} = \int_{\infty}^{0} \frac{-t}{t^3 + 1} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{t}{t^3 + 1} dt = \int_{0}^{\infty} \frac{x}{x^3 + 1} dx$

$I = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1+x^3} \, dx$とすると、

$2I = \int_{0}^{\infty} \frac{1 + x}{1 + x^3} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1 + x}{(1 + x)(1 - x + x^2)} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 - x + x^2} \, dx = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} \, dx$

$x - \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta$と置換すると、$dx = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta \, d\theta$となります。

積分範囲は $-\frac{\pi}{6}$から$\frac{\pi}{2}$になります。

$2I = \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\frac{3}{4} \tan^2 \theta + \frac{3}{4}} \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta \, d\theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{4}{3} \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} \, d\theta = \frac{2\sqrt{3}}{3} [\theta]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} (\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \frac{4\pi}{6} = \frac{4\sqrt{3}\pi}{9}$

$I = \frac{2\sqrt{3}\pi}{9}$

3. 最終的な答え

1. (1) $4 - 2\pi$

2. (1) $\frac{2\pi}{3\sqrt{3}}$