関数 $f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1$ について、以下の問いに答える問題です。ただし、$0 \leq \theta < 2\pi$とします。 (1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $t$ の式で表す。 (2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。 (3) $f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1$ について、以下の問いに答える問題です。ただし、$0 \leq \theta < 2\pi$とします。

(1) $t = \sin \theta + \cos \theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $t$ の式で表す。

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

(3) $f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(\theta)$ を $t$ の式で表す。

$t = \sin \theta + \cos \theta$ の両辺を2乗すると、

$$t^2 = (\sin \theta + \cos \theta)^2 = \sin^2 \theta + 2\sin \theta \cos \theta + \cos^2 \theta = 1 + 2\sin \theta \cos \theta = 1 + \sin 2\theta$$

よって、$\sin 2\theta = t^2 - 1$となる。

したがって、

$$f(\theta) = \sin 2\theta + 2(\sin \theta + \cos \theta) - 1 = (t^2 - 1) + 2t - 1 = t^2 + 2t - 2$$

(2) $t$ のとりうる値の範囲を求める。

$t = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta + \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta) = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$

$0 \leq \theta < 2\pi$ であるから、$\frac{\pi}{4} \leq \theta + \frac{\pi}{4} < \frac{9\pi}{4}$ である。

したがって、$-1 \leq \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq 1$ となるので、

$-\sqrt{2} \leq \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) \leq \sqrt{2}$

つまり、$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

(3) $f(\theta)$ の最大値と最小値を求め、そのときの $\theta$ の値を求める。

$f(\theta) = t^2 + 2t - 2 = (t+1)^2 - 3$

$-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$ において、

$t = -1$ のとき最小値 $( -1 + 1)^2 - 3 = -3$

$t = \sqrt{2}$ のとき最大値 $(\sqrt{2}+1)^2 - 3 = 2 + 2\sqrt{2} + 1 - 3 = 2\sqrt{2}$

$t = -1$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = -1$ より $\sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4}) = -1$

$\sin (\theta + \frac{\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}$

$\theta = \pi, \frac{3\pi}{2}$

$t = \sqrt{2}$ のとき、$\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2}$ より $\sqrt{2} \sin (\theta + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$

$\sin (\theta + \frac{\pi}{4}) = 1$

$\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $f(\theta) = t^2 + 2t - 2$

(2) $-\sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}$

(3)

最大値：$2\sqrt{2}$ ($\theta = \frac{\pi}{4}$ のとき)

最小値：$-3$ ($\theta = \pi, \frac{3\pi}{2}$ のとき)