次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int \sqrt[3]{x} \, dx$ (2) $\int x\sqrt{x} \, dx$ (3) $\int \frac{2}{3x} \, dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int \sqrt[3]{x} \, dx$

(2) $\int x\sqrt{x} \, dx$

(3) $\int \frac{2}{3x} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sqrt[3]{x} \, dx$

$\sqrt[3]{x}$ は $x^{\frac{1}{3}}$ と書けるので、積分は

$\int x^{\frac{1}{3}} \, dx$

となります。

不定積分の公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) を用いると、

$\int x^{\frac{1}{3}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1} + C = \frac{x^{\frac{4}{3}}}{\frac{4}{3}} + C = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

となります。

(2) $\int x\sqrt{x} \, dx$

$x\sqrt{x}$ は $x \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{3}{2}}$ と書けるので、積分は

$\int x^{\frac{3}{2}} \, dx$

となります。

不定積分の公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし、$n \neq -1$) を用いると、

$\int x^{\frac{3}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1} + C = \frac{x^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + C = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

となります。

(3) $\int \frac{2}{3x} \, dx$

$\frac{2}{3}$ は定数なので、積分の外に出すことができ、

$\int \frac{2}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \int \frac{1}{x} \, dx$

となります。

不定積分の公式 $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$ を用いると、

$\frac{2}{3} \int \frac{1}{x} \, dx = \frac{2}{3} \ln|x| + C$

となります。

3. 最終的な答え

(1) $\int \sqrt[3]{x} \, dx = \frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C$

(2) $\int x\sqrt{x} \, dx = \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C$

(3) $\int \frac{2}{3x} \, dx = \frac{2}{3} \ln|x| + C$