連続関数 $f(x)$ に対して、積分 $\int_{0}^{x+1} x f(t) dt$ で定義される $x$ の関数を微分せよ。

1. 問題の内容

連続関数 $f(x)$ に対して、積分 $\int_{0}^{x+1} x f(t) dt$ で定義される $x$ の関数を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を $F(x)$ とおきます。

$F(x) = \int_{0}^{x+1} x f(t) dt$

ここで、$x$ は $t$ に関する積分に関して定数であるため、積分の外に出すことができます。

$F(x) = x \int_{0}^{x+1} f(t) dt$

次に、$F(x)$ を微分します。積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を用いると、

$F'(x) = (x)' \int_{0}^{x+1} f(t) dt + x \left( \int_{0}^{x+1} f(t) dt \right)'$

$F'(x) = \int_{0}^{x+1} f(t) dt + x \left( \int_{0}^{x+1} f(t) dt \right)'$

ここで、積分記号付き関数の微分に関する基本定理を用います。すなわち、$g(x) = \int_a^{h(x)} f(t) dt$ ならば、$g'(x) = f(h(x)) h'(x)$ です。この定理を適用すると、

$\left( \int_{0}^{x+1} f(t) dt \right)' = f(x+1) \cdot (x+1)' = f(x+1) \cdot 1 = f(x+1)$

したがって、

$F'(x) = \int_{0}^{x+1} f(t) dt + x f(x+1)$

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{x+1} f(t) dt + x f(x+1)$