関数 $f(x)$ が連続関数であるとき、積分 $\int_{x}^{x^2} f(t) dt$ を $x$ について微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が連続関数であるとき、積分 $\int_{x}^{x^2} f(t) dt$ を $x$ について微分せよ。

2. 解き方の手順

この問題は、微積分学の基本定理と合成関数の微分法を利用して解きます。

まず、不定積分 $F(x) = \int f(x) dx$ を考えます。すると、微積分学の基本定理より、$F'(x) = f(x)$ となります。

与えられた積分は以下のように表すことができます。

$\int_{x}^{x^2} f(t) dt = F(x^2) - F(x)$

これを $x$ で微分します。

$\frac{d}{dx} \left[ \int_{x}^{x^2} f(t) dt \right] = \frac{d}{dx} \left[ F(x^2) - F(x) \right]$

合成関数の微分法を使うと、

$\frac{d}{dx} F(x^2) = F'(x^2) \cdot \frac{d}{dx} (x^2) = f(x^2) \cdot 2x$

また、

$\frac{d}{dx} F(x) = F'(x) = f(x)$

したがって、

$\frac{d}{dx} \left[ \int_{x}^{x^2} f(t) dt \right] = f(x^2) \cdot 2x - f(x)$

3. 最終的な答え

$2xf(x^2) - f(x)$