領域 $D = \{(x, y) \mid x \geq 0, 2(x-1) \leq y \leq -x+1\}$ 上で、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算する。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) \mid x \geq 0, 2(x-1) \leq y \leq -x+1\}$ 上で、二重積分 $\iint_D xy \, dxdy$ を計算する。

2. 解き方の手順

まず積分範囲を決定します。

$y$ の範囲は $2(x-1) \leq y \leq -x+1$ と与えられています。

$x$ の範囲を求めるために、$2(x-1) = -x+1$ を解きます。

$2x - 2 = -x + 1$

$3x = 3$

$x = 1$

また、$x \geq 0$ なので、$x$ の範囲は $0 \leq x \leq 1$ となります。

二重積分を計算します。積分順序は $y$ を先に積分し、$x$ を後に積分します。

$\iint_D xy \, dxdy = \int_0^1 \int_{2(x-1)}^{-x+1} xy \, dy dx$

まず、$y$ で積分します。

$\int_{2(x-1)}^{-x+1} xy \, dy = x \int_{2(x-1)}^{-x+1} y \, dy = x \left[ \frac{1}{2} y^2 \right]_{2(x-1)}^{-x+1}$

$= x \left[ \frac{1}{2} (-x+1)^2 - \frac{1}{2} (2(x-1))^2 \right] = \frac{x}{2} \left[ (x^2 - 2x + 1) - 4(x^2 - 2x + 1) \right]$

$= \frac{x}{2} \left[ x^2 - 2x + 1 - 4x^2 + 8x - 4 \right] = \frac{x}{2} \left[ -3x^2 + 6x - 3 \right] = \frac{-3x}{2} \left[ x^2 - 2x + 1 \right] = \frac{-3x}{2} (x-1)^2 = \frac{-3x^3 + 6x^2 - 3x}{2}$

次に、$x$ で積分します。

$\int_0^1 \frac{-3x^3 + 6x^2 - 3x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \int_0^1 (-3x^3 + 6x^2 - 3x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{3}{4}x^4 + 2x^3 - \frac{3}{2}x^2 \right]_0^1$

$= \frac{1}{2} \left[ -\frac{3}{4} + 2 - \frac{3}{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{3}{4} + \frac{8}{4} - \frac{6}{4} \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{4} \right] = -\frac{1}{8}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{8}$