曲面 $z = \sin(\pi x) \cos(\pi y)$ 上の点 $\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right)$ における接平面の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

曲面 $z = \sin(\pi x) \cos(\pi y)$ 上の点 $\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}\right)$ における接平面の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲面 $z = f(x,y)$ 上の点 $(x_0, y_0, z_0)$ における接平面の方程式は、

$$z - z_0 = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0) (x - x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0) (y - y_0)$$

で与えられます。

まず、$f(x, y) = \sin(\pi x) \cos(\pi y)$ の偏導関数を求めます。

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \pi \cos(\pi x) \cos(\pi y)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = -\pi \sin(\pi x) \sin(\pi y)$$

次に、点 $\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right)$ における偏導関数の値を計算します。

$$\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right) = \pi \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \pi \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi \sqrt{3}}{4}$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}\right) = -\pi \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\pi \left(\frac{1}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\frac{\pi \sqrt{3}}{4}$$

これらの値を接平面の方程式に代入します。

$$z - \frac{1}{4} = \frac{\pi \sqrt{3}}{4} \left(x - \frac{1}{6}\right) - \frac{\pi \sqrt{3}}{4} \left(y - \frac{1}{3}\right)$$

整理すると、

$$z = \frac{\pi \sqrt{3}}{4} x - \frac{\pi \sqrt{3}}{4} y + \frac{\pi \sqrt{3}}{24} + \frac{\pi \sqrt{3}}{12} + \frac{1}{4}$$

$$z = \frac{\pi \sqrt{3}}{4} x - \frac{\pi \sqrt{3}}{4} y + \frac{\pi \sqrt{3}}{8} + \frac{1}{4}$$

両辺に $4$ をかけて整理すると、

$$\pi \sqrt{3} x - \pi \sqrt{3} y - 4z + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + 1 = 0$$

$$4z = \pi\sqrt{3}(x - y) + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + 1$$

$$z = \frac{\pi \sqrt{3}}{4} x - \frac{\pi \sqrt{3}}{4} y + \frac{\pi \sqrt{3}}{8} + \frac{1}{4}$$

3. 最終的な答え

接平面の方程式は

$$z = \frac{\pi\sqrt{3}}{4}x - \frac{\pi\sqrt{3}}{4}y + \frac{\pi\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{4}$$

あるいは

$$\frac{\pi\sqrt{3}}{4}x - \frac{\pi\sqrt{3}}{4}y - z + \frac{\pi\sqrt{3}}{8} + \frac{1}{4} = 0$$

または

$$\pi\sqrt{3}x - \pi\sqrt{3}y - 4z + \frac{\pi\sqrt{3}}{2} + 1 = 0$$

です。