広義積分 $\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$ を求めます。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数は $x=0$ で定義されないため、この積分は広義積分となります。

積分区間を分割し、極限を用いて広義積分を計算します。

$\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = \int_{-1}^0 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} + \int_{0}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$

それぞれの積分を計算します。

$\int \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = \int x^{-\frac{2}{3}} dx = \frac{x^{\frac{1}{3}}}{\frac{1}{3}} + C = 3x^{\frac{1}{3}} + C = 3\sqrt[3]{x} + C$

したがって、

$\int_{-1}^0 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = \lim_{a \to 0^-} \int_{-1}^a x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{a \to 0^-} [3\sqrt[3]{x}]_{-1}^a = \lim_{a \to 0^-} (3\sqrt[3]{a} - 3\sqrt[3]{-1}) = 3(0 - (-1)) = 3$

$\int_{0}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = \lim_{b \to 0^+} \int_{b}^1 x^{-\frac{2}{3}} dx = \lim_{b \to 0^+} [3\sqrt[3]{x}]_{b}^1 = \lim_{b \to 0^+} (3\sqrt[3]{1} - 3\sqrt[3]{b}) = 3(1 - 0) = 3$

よって、

$\int_{-1}^1 \frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}} = 3 + 3 = 6$

3. 最終的な答え

6