以下の3つの2重積分を計算します。積分領域 $D$ はそれぞれ異なります。 (1) $\iint_D y^2 dxdy$, $D = \{(x,y) | x^2 + y^2 \leq x\}$ (2) $\iint_D y^2 dxdy$, $D = \{(x,y) | x^2 + y^2 \leq y\}$ (3) $\iint_D (x^2+y^2) dxdy$, $D = \{(x,y) | 0 \leq x, 0 \leq y, 2x \leq x^2 + y^2 \leq 4\}$

はい、承知いたしました。極座標変換を用いて、以下の2重積分を計算します。

1. 問題の内容

以下の3つの2重積分を計算します。積分領域 $D$ はそれぞれ異なります。

(1) $\iint_D y^2 dxdy$, $D = \{(x,y) | x^2 + y^2 \leq x\}$

(2) $\iint_D y^2 dxdy$, $D = \{(x,y) | x^2 + y^2 \leq y\}$

(3) $\iint_D (x^2+y^2) dxdy$, $D = \{(x,y) | 0 \leq x, 0 \leq y, 2x \leq x^2 + y^2 \leq 4\}$

2. 解き方の手順

極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$, $dxdy = rdrd\theta$ を用います。

(1) $x^2 + y^2 \leq x$ は $r^2 \leq r\cos\theta$ となり、$r \leq \cos\theta$ となります。$r \geq 0$ より $\cos\theta \geq 0$ である必要があるので、 $-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ です。

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\iint_D y^2 dxdy = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_0^{\cos\theta} (r\sin\theta)^2 r dr d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2\theta \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{\cos\theta} d\theta

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= \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2\theta \cos^4\theta d\theta = \frac{1}{4} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \left(\frac{1-\cos2\theta}{2}\right) \left(\frac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2 d\theta

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= \frac{1}{32} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1-\cos2\theta)(1+2\cos2\theta+\cos^22\theta) d\theta

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= \frac{1}{32} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1+\cos2\theta-\cos^22\theta-\cos^32\theta) d\theta

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$\cos\theta$ は偶関数なので積分区間が対称なら積分は0になります。

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= \frac{1}{32} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (1-\cos^22\theta) d\theta = \frac{1}{32} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^22\theta d\theta = \frac{1}{32} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1-\cos4\theta}{2} d\theta

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= \frac{1}{64} \left[ \theta - \frac{\sin4\theta}{4} \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{1}{64} (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = \frac{\pi}{64}

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(2) $x^2 + y^2 \leq y$ は $r^2 \leq r\sin\theta$ となり、$r \leq \sin\theta$ となります。$r \geq 0$ より $\sin\theta \geq 0$ である必要があるので、$0 \leq \theta \leq \pi$ です。

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\iint_D y^2 dxdy = \int_0^\pi \int_0^{\sin\theta} (r\sin\theta)^2 r dr d\theta = \int_0^\pi \sin^2\theta \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^{\sin\theta} d\theta

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= \frac{1}{4} \int_0^\pi \sin^6\theta d\theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{5\pi}{64}

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(3) $2x \leq x^2 + y^2 \leq 4$ は $2r\cos\theta \leq r^2 \leq 4$ となります。また、$x \geq 0$ かつ $y \geq 0$ なので $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ です。$r^2 \geq 2r\cos\theta$ より、$r \geq 2\cos\theta$ です。また、$r^2 \leq 4$ より $r \leq 2$ です。

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\iint_D (x^2+y^2) dxdy = \int_0^{\pi/2} \int_{2\cos\theta}^2 r^2 r dr d\theta = \int_0^{\pi/2} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{2\cos\theta}^2 d\theta

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= \frac{1}{4} \int_0^{\pi/2} (16 - 16\cos^4\theta) d\theta = 4 \int_0^{\pi/2} (1-\cos^4\theta) d\theta = 4 \int_0^{\pi/2} d\theta - 4 \int_0^{\pi/2} \cos^4\theta d\theta

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= 4 \cdot \frac{\pi}{2} - 4 \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}

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3. 最終的な答え

(1) $\frac{\pi}{64}$

(2) $\frac{5\pi}{64}$

(3) $\frac{5\pi}{4}$