与えられた積分 $\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx$ を計算する。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}} dx$ を計算する。

2. 解き方の手順

置換積分を用いる。

$u = 2x + 1$ と置くと、$\frac{du}{dx} = 2$ より、$dx = \frac{1}{2} du$ となる。

したがって、積分は以下のようになる。

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-1/2} du$

$u^{-1/2}$ の積分は $\frac{u^{1/2}}{1/2} = 2u^{1/2}$ である。

したがって、

$\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = \frac{1}{2} (2u^{1/2}) + C = u^{1/2} + C$

最後に、$u = 2x + 1$ を代入して、$(2x + 1)^{1/2} + C = \sqrt{2x + 1} + C$ となる。

3. 最終的な答え

$\sqrt{2x+1} + C$