$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用します。

まず、$\frac{\sin 2x}{\sin 5x}$ を次のように変形します。

$\frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \frac{2x}{5x}$

ここで、各部分の極限を考えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} = \frac{1}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{5x}} = \frac{1}{1} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{2x}{5x} = \frac{2}{5}$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{\sin 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{5x}{\sin 5x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{2x}{5x} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{5}$