$y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を微分せよ。

1. 問題の内容

$y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を使って解きます。

$y = \sin^2(3x + \frac{\pi}{5})$ を $y = u^2$, $u = \sin(v)$, $v = 3x + \frac{\pi}{5}$ と分解します。

まず、$u$ を $v$ で微分すると、

$\frac{du}{dv} = \cos(v)$

次に、$v$ を $x$ で微分すると、

$\frac{dv}{dx} = 3$

最後に、$y$ を $u$ で微分すると、

$\frac{dy}{du} = 2u$

したがって、連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = 2u \cdot \cos(v) \cdot 3 = 6u \cos(v)$

ここで、$u = \sin(3x + \frac{\pi}{5})$、$v = 3x + \frac{\pi}{5}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = 6 \sin(3x + \frac{\pi}{5}) \cos(3x + \frac{\pi}{5})$

三角関数の公式 $2\sin\theta \cos\theta = \sin 2\theta$ を使うと、

$\frac{dy}{dx} = 3 \cdot 2 \sin(3x + \frac{\pi}{5}) \cos(3x + \frac{\pi}{5}) = 3 \sin(2(3x + \frac{\pi}{5})) = 3 \sin(6x + \frac{2\pi}{5})$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 3 \sin(6x + \frac{2\pi}{5})$