$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x}$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を $x$ で割ることを考えます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x + \sin x}{\sin 2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x} + \frac{\sin x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}}$

次に、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ を利用します。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = 2$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin 3x}{x} + \frac{\sin x}{x}}{\frac{\sin 2x}{x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} + \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}}{\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x}} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

3. 最終的な答え

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