$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき、関数 $y = x^3 + x^2$ の平均変化率を求めよ。

1. 問題の内容

$x$ が $a$ から $b$ まで変化するとき、関数 $y = x^3 + x^2$ の平均変化率を求めよ。

2. 解き方の手順

平均変化率は、$\frac{yの変化量}{xの変化量}$ で求められます。

まず、$x=a$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(a) = a^3 + a^2$

次に、$x=b$ のときの $y$ の値を求めます。

$y(b) = b^3 + b^2$

$y$ の変化量は $y(b) - y(a)$ であり、$x$ の変化量は $b - a$ です。

したがって、平均変化率は、

$\frac{y(b) - y(a)}{b - a} = \frac{(b^3 + b^2) - (a^3 + a^2)}{b - a}$

となります。

$\frac{b^3 - a^3 + b^2 - a^2}{b - a} = \frac{(b - a)(b^2 + ab + a^2) + (b - a)(b + a)}{b - a}$

$= \frac{(b - a)(b^2 + ab + a^2 + b + a)}{b - a}$

$= b^2 + ab + a^2 + b + a$

3. 最終的な答え

$a^2 + ab + b^2 + a + b$