次の3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x\to 1+0} \frac{1-x-|1-x^2|}{x-1+|1-x|}$ (2) $\lim_{x\to \infty} \frac{x+\sqrt{2x^2+2}}{x+1}$ (3) $\lim_{x\to \infty} \frac{\cos x}{x}$

1. 問題の内容

次の3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x\to 1+0} \frac{1-x-|1-x^2|}{x-1+|1-x|}$

(2) $\lim_{x\to \infty} \frac{x+\sqrt{2x^2+2}}{x+1}$

(3) $\lim_{x\to \infty} \frac{\cos x}{x}$

2. 解き方の手順

(1) $x \to 1+0$なので、$x > 1$です。したがって、$1-x < 0$であり、$1-x^2 < 0$です。絶対値を外すと、

$|1-x^2| = -(1-x^2) = x^2-1$

$|1-x| = -(1-x) = x-1$

となるので、

$\lim_{x\to 1+0} \frac{1-x-|1-x^2|}{x-1+|1-x|} = \lim_{x\to 1+0} \frac{1-x-(x^2-1)}{x-1+(x-1)} = \lim_{x\to 1+0} \frac{2-x-x^2}{2(x-1)} = \lim_{x\to 1+0} \frac{-(x-1)(x+2)}{2(x-1)} = \lim_{x\to 1+0} \frac{-(x+2)}{2} = \frac{-(1+2)}{2} = -\frac{3}{2}$

(2) $x \to \infty$なので、$x>0$として計算します。

$\lim_{x\to \infty} \frac{x+\sqrt{2x^2+2}}{x+1} = \lim_{x\to \infty} \frac{x+\sqrt{x^2(2+\frac{2}{x^2})}}{x+1} = \lim_{x\to \infty} \frac{x+x\sqrt{2+\frac{2}{x^2}}}{x+1} = \lim_{x\to \infty} \frac{x(1+\sqrt{2+\frac{2}{x^2}})}{x(1+\frac{1}{x})} = \lim_{x\to \infty} \frac{1+\sqrt{2+\frac{2}{x^2}}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{1+\sqrt{2+0}}{1+0} = 1+\sqrt{2}$

(3) $-1 \leq \cos x \leq 1$ であるから、$x \to \infty$のとき、$\frac{\cos x}{x}$は$0$に収束します。

$-\frac{1}{x} \leq \frac{\cos x}{x} \leq \frac{1}{x}$

$\lim_{x\to \infty} -\frac{1}{x} = 0$

$\lim_{x\to \infty} \frac{1}{x} = 0$

したがって、

$\lim_{x\to \infty} \frac{\cos x}{x} = 0$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{3}{2}$

(2) $1+\sqrt{2}$

(3) $0$