与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{1-x} - \frac{1}{\log x} \right) (x-1)$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x}{1-x} - \frac{1}{\log x} \right) (x-1)$$

2. 解き方の手順

まず、式を整理します。

$$\lim_{x \to 1} \left( \frac{x \log x - (1-x)}{(1-x) \log x} \right) (x-1) = \lim_{x \to 1} \frac{x \log x + x - 1}{(1-x) \log x} (x-1) = \lim_{x \to 1} \frac{x \log x + x - 1}{-\log x}$$

ここで $x = 1 + h$ とおくと、$x \to 1$ のとき $h \to 0$ なので、

$$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h) \log (1+h) + h}{-\log (1+h)}$$

$\log(1+h)$ をテイラー展開すると、$\log (1+h) = h - \frac{h^2}{2} + O(h^3)$ なので、

$$\lim_{h \to 0} \frac{(1+h)(h - \frac{h^2}{2} + O(h^3)) + h}{-h + \frac{h^2}{2} + O(h^3)} = \lim_{h \to 0} \frac{h - \frac{h^2}{2} + h^2 + O(h^3) + h}{-h + \frac{h^2}{2} + O(h^3)} = \lim_{h \to 0} \frac{2h + \frac{h^2}{2} + O(h^3)}{-h + \frac{h^2}{2} + O(h^3)}$$

分子と分母を $h$ で割ると、

$$\lim_{h \to 0} \frac{2 + \frac{h}{2} + O(h^2)}{-1 + \frac{h}{2} + O(h^2)} = \frac{2}{-1} = -2$$

3. 最終的な答え

-2