与えられた4つの広義積分が収束することを示す問題です。 (1) $\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} dx$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(2+\cos x)}}$ (3) $\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx$ (4) $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}$

1. 問題の内容

与えられた4つの広義積分が収束することを示す問題です。

(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} dx$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(2+\cos x)}}$

(3) $\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx$

(4) $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}$

2. 解き方の手順

(1)

$x = t^2$ とおくと、$dx = 2t dt$ となり、

$\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} dx = \int_{0}^{\infty} \frac{\log(1+t)}{1+t^4} 2t dt = 2\int_{0}^{\infty} \frac{t\log(1+t)}{1+t^4} dt$

$t \ge 1$ において、$0 < \frac{t\log(1+t)}{1+t^4} < \frac{t\log(2t)}{t^4} = \frac{\log(2t)}{t^3}$ であり、$\int_{1}^{\infty} \frac{\log(2t)}{t^3} dt$ は収束する。

$0 \le t \le 1$ において、$0 < \frac{t\log(1+t)}{1+t^4} < t\log(2)$ であり、$\int_{0}^{1} t\log(2) dt$ は収束する。

したがって、与えられた広義積分は収束する。

(2)

$x \to 0$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{x(2+\cos x)}} \sim \frac{1}{\sqrt{3x}}$.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ は収束するので、$\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(2+\cos x)}}$ は収束する。

(3)

$x \to 0$ のとき、$\frac{\sin x}{x} \to 1$ となるので、被積分関数は$x=0$ で有界である。したがって、$\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx$ は広義積分ではなく、通常の定積分として収束する。

(4)

$x \to \infty$ のとき、$\frac{1}{\sqrt{e^x-1}} \sim \frac{1}{\sqrt{e^x}} = e^{-x/2}$.

$\int_{1}^{\infty} e^{-x/2} dx$ は収束する。したがって、$\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}$ は収束する。

3. 最終的な答え

(1) $\int_{0}^{\infty} \frac{\log(1+\sqrt{x})}{1+x^2} dx$ は収束する。

(2) $\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{x(2+\cos x)}}$ は収束する。

(3) $\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx$ は収束する。

(4) $\int_{1}^{\infty} \frac{dx}{\sqrt{e^x-1}}$ は収束する。