3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ が持つ実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 - 6x + 4 = 0$ が持つ実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

3次関数のグラフを描き、x軸との交点の個数を調べることで実数解の個数を求めます。

まず、$f(x) = x^3 - 6x + 4$ とおきます。

次に、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6 = 0$

$x^2 = 2$

$x = \pm \sqrt{2}$

$x = -\sqrt{2}$ と $x = \sqrt{2}$ は $f(x)$ の極値を与える $x$ の値です。

次に、$f(-\sqrt{2})$ と $f(\sqrt{2})$ を計算します。

$f(-\sqrt{2}) = (-\sqrt{2})^3 - 6(-\sqrt{2}) + 4 = -2\sqrt{2} + 6\sqrt{2} + 4 = 4\sqrt{2} + 4 \approx 4(1.414) + 4 = 5.656 + 4 = 9.656 > 0$

$f(\sqrt{2}) = (\sqrt{2})^3 - 6(\sqrt{2}) + 4 = 2\sqrt{2} - 6\sqrt{2} + 4 = -4\sqrt{2} + 4 \approx -4(1.414) + 4 = -5.656 + 4 = -1.656 < 0$

$f(-\sqrt{2}) > 0$ で $f(\sqrt{2}) < 0$ なので、$f(x)$ は $x = -\sqrt{2}$ で極大値をとり、$x = \sqrt{2}$ で極小値をとります。

さらに、$f(x)$ のグラフの概形を調べるために、$x$ が十分大きいときと小さいときの $f(x)$ の値を考えます。

$x \to \infty$ のとき、$f(x) \to \infty$

$x \to -\infty$ のとき、$f(x) \to -\infty$

$f(0) = 4 > 0$

したがって、$f(x)$ は3つの実数解を持つことがわかります。

3. 最終的な答え

3個