与えられた数列の極限値を求める問題です。数列は $ \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n} $ であり、$n$が無限大に近づくときの極限 $ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n} $ を求めることが求められています。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限値を求める問題です。数列は $\frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$ であり、$n$が無限大に近づくときの極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1} + n}$ を求めることが求められています。

2. 解き方の手順

まず、分子と分母を$n$で割ります。これにより、式は以下のようになります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n^2}} + 1}$

次に、$n$が無限大に近づくと、$\frac{1}{n^2}$は0に近づきます。したがって、式は以下のようになります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1}$

$= \frac{1}{\sqrt{1} + 1}$

$= \frac{1}{1 + 1}$

$= \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$