関数 $f(x) = e^{2x} \sin x$ のマクローリン展開 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ における $a_3$ と $a_4$ を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = e^{2x} \sin x$ のマクローリン展開 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ における $a_3$ と $a_4$ を求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開の係数は、関数 $f(x)$ の $n$ 階微分 $f^{(n)}(x)$ を用いて、$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ で与えられます。したがって、$f(x)$ の3階微分と4階微分を計算し、$x=0$ における値を求める必要があります。

まず、$f(x) = e^{2x} \sin x$ の導関数を計算します。

$f'(x) = 2e^{2x} \sin x + e^{2x} \cos x = e^{2x} (2\sin x + \cos x)$

$f''(x) = 2e^{2x} (2\sin x + \cos x) + e^{2x} (2\cos x - \sin x) = e^{2x} (3\sin x + 4\cos x)$

$f'''(x) = 2e^{2x} (3\sin x + 4\cos x) + e^{2x} (3\cos x - 4\sin x) = e^{2x} (-2\sin x + 11\cos x)$

$f^{(4)}(x) = 2e^{2x} (-2\sin x + 11\cos x) + e^{2x} (-2\cos x - 11\sin x) = e^{2x} (-15\sin x + 20\cos x)$

次に、$x=0$ におけるこれらの導関数の値を求めます。

$f(0) = e^{0} \sin 0 = 0$

$f'(0) = e^{0} (2\sin 0 + \cos 0) = 1$

$f''(0) = e^{0} (3\sin 0 + 4\cos 0) = 4$

$f'''(0) = e^{0} (-2\sin 0 + 11\cos 0) = 11$

$f^{(4)}(0) = e^{0} (-15\sin 0 + 20\cos 0) = 20$

したがって、$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$ より、

$a_3 = \frac{f'''(0)}{3!} = \frac{11}{6}$

$a_4 = \frac{f^{(4)}(0)}{4!} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$a_3 = \frac{11}{6}$

$a_4 = \frac{5}{6}$