与えられた数列の極限 $\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2 + 7}{4n^2 - 5}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限 $\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2 + 7}{4n^2 - 5}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

極限を求めるために、分母と分子を $n^2$ で割ります。

$\lim_{n\to\infty} \frac{3n^2 + 7}{4n^2 - 5} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^2}{n^2} + \frac{7}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2} - \frac{5}{n^2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{3 + \frac{7}{n^2}}{4 - \frac{5}{n^2}}$

$n$ が無限大に近づくと、$\frac{7}{n^2}$ と $\frac{5}{n^2}$ は 0 に近づきます。

$\lim_{n\to\infty} \frac{7}{n^2} = 0$

$\lim_{n\to\infty} \frac{5}{n^2} = 0$

したがって、

$\lim_{n\to\infty} \frac{3 + \frac{7}{n^2}}{4 - \frac{5}{n^2}} = \frac{3 + 0}{4 - 0} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{3}{4}$