与えられた数列の極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 3}{4n^2 + 5}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列の極限値 $\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 3}{4n^2 + 5}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

分子と分母をそれぞれ $n^2$ で割ります。

$\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + 2n + 3}{4n^2 + 5} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n^2}{n^2} + \frac{2n}{n^2} + \frac{3}{n^2}}{\frac{4n^2}{n^2} + \frac{5}{n^2}}$

整理すると、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^2}}{4 + \frac{5}{n^2}}$

$n$ が無限大に近づくとき、$\frac{2}{n}$, $\frac{3}{n^2}$, $\frac{5}{n^2}$ は0に近づきます。したがって、

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{2}{n} + \frac{3}{n^2}}{4 + \frac{5}{n^2}} = \frac{1 + 0 + 0}{4 + 0} = \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4}$