定積分 $I_n = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{dx}{(\cos x)^n}$ について、以下の問いに答えます。 (1) $I_0, I_{-1}, I_2$ を求めます。 (2) $I_1$ を求めます。 (3) 部分積分法を用いて、$nI_n - (n+1)I_{n+2} + (\sqrt{2})^n = 0$ が整数 $n$ に対して成り立つことを示します。 (4) $I_{-3}, I_{-2}, I_3$ を求めます。 (5) 定積分 $\int_0^1 \sqrt{x^2+1} dx$ および $\int_0^1 \frac{dx}{(x^2+1)^2}$ を求めます。
2025/7/31
1. 問題の内容
定積分 について、以下の問いに答えます。
(1) を求めます。
(2) を求めます。
(3) 部分積分法を用いて、 が整数 に対して成り立つことを示します。
(4) を求めます。
(5) 定積分 および を求めます。
2. 解き方の手順
(1)
(2)
ここで、 と置換すると、。 のとき、。
よって、
(3) (証明略)
(4)
公式 より、
(5)
について、 と置換すると、。
のとき、。
であることに気づかず計算すると大変。
の積分は部分積分で実行する。
について、 と置換すると、。
のとき、。
3. 最終的な答え
(1)
(2)
(3) 証明略
(4)
(5)