極限値 $\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^2 - 3})$ を求めよ。

1. 問題の内容

極限値 $\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^2 - 3})$ を求めよ。

2. 解き方の手順

$n - \sqrt{n^2 - 3}$ に共役な式 $n + \sqrt{n^2 - 3}$ を掛けて分子を有理化します。

$\lim_{n \to \infty} (n - \sqrt{n^2 - 3}) = \lim_{n \to \infty} \frac{(n - \sqrt{n^2 - 3})(n + \sqrt{n^2 - 3})}{n + \sqrt{n^2 - 3}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{n^2 - (n^2 - 3)}{n + \sqrt{n^2 - 3}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n + \sqrt{n^2 - 3}}$

分母と分子を $n$ で割ります。

$= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{\sqrt{n^2 - 3}}{n}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}}{1 + \sqrt{\frac{n^2 - 3}{n^2}}}$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{3}{n}}{1 + \sqrt{1 - \frac{3}{n^2}}}$

$n \to \infty$ のとき $\frac{3}{n} \to 0$ かつ $\frac{3}{n^2} \to 0$ であるから、

$= \frac{0}{1 + \sqrt{1 - 0}} = \frac{0}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0$

3. 最終的な答え

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