問題は2つあります。 [1] $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ のマクローリン展開式を用いて、オイラーの公式が成り立つことを確認すること。 [2] 次の関数をマクローリン展開すること。 (1) $e^{1+x}$ (2) $\sin^2 x$ (3) $\log \frac{1+x}{1-x}$

1. 問題の内容

問題は2つあります。

[1] $\sin x$, $\cos x$, $e^x$ のマクローリン展開式を用いて、オイラーの公式が成り立つことを確認すること。

[2] 次の関数をマクローリン展開すること。

(1) $e^{1+x}$

(2) $\sin^2 x$

(3) $\log \frac{1+x}{1-x}$

2. 解き方の手順

[1] オイラーの公式を確認します。

オイラーの公式は $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ です。

$\sin x$, $\cos x$, $e^x$ のマクローリン展開は次のとおりです。

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

したがって、

$e^{ix} = 1 + ix + \frac{(ix)^2}{2!} + \frac{(ix)^3}{3!} + \frac{(ix)^4}{4!} + \dots$

$= 1 + ix - \frac{x^2}{2!} - i \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} - \frac{x^6}{6!} - i \frac{x^7}{7!} + \dots$

$= (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots) + i (x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \dots)$

$= \cos x + i \sin x$

したがって、オイラーの公式が成り立ちます。

[2] (1) $e^{1+x}$のマクローリン展開を求めます。

$e^{1+x} = e \cdot e^x = e (1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \dots) = e \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

(2) $\sin^2 x$のマクローリン展開を求めます。

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \frac{(2x)^6}{6!} + \dots) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n (2x)^{2n}}{(2n)!}$

$= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (1 - \frac{4x^2}{2} + \frac{16x^4}{24} - \frac{64x^6}{720} + \dots) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} (1 - 2x^2 + \frac{2}{3} x^4 - \frac{4}{45} x^6 + \dots)$

$= x^2 - \frac{1}{3} x^4 + \frac{2}{45} x^6 + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2^{2n-1}}{(2n)!} x^{2n}$

(3) $\log \frac{1+x}{1-x}$のマクローリン展開を求めます。

$\log \frac{1+x}{1-x} = \log(1+x) - \log(1-x)$

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \dots = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$

$\log \frac{1+x}{1-x} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n ( (-1)^{n+1} + 1)}{n}$

$n$ が偶数のとき $(-1)^{n+1} = -1$ となるため、$(-1)^{n+1} + 1 = 0$です。

$n$ が奇数のとき $(-1)^{n+1} = 1$ となるため、$(-1)^{n+1} + 1 = 2$です。

よって、$\log \frac{1+x}{1-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 x^{2n+1}}{2n+1} = 2(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots)$

3. 最終的な答え

[1] オイラーの公式 $e^{ix} = \cos x + i \sin x$ が成り立つ。

[2]

(1) $e^{1+x} = e \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$

(2) $\sin^2 x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2^{2n-1}}{(2n)!} x^{2n} = x^2 - \frac{x^4}{3} + \frac{2x^6}{45} - \dots$

(3) $\log \frac{1+x}{1-x} = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = 2(x + \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + \dots)$