以下の4つの定積分の値を求めます。 (1) $\int_0^2 x^2 e^{2x} dx$ (2) $\int_0^{a/2} \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} \ (a>0)$ (3) $\int_0^{\pi/4} \cos^3 x dx$ (4) $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1+x}{1+x^2} dx$

承知いたしました。画像に写っている定積分問題のうち、(1)から(4)までを解きます。

1. 問題の内容

以下の4つの定積分の値を求めます。

(1) $\int_0^2 x^2 e^{2x} dx$

(2) $\int_0^{a/2} \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} \ (a>0)$

(3) $\int_0^{\pi/4} \cos^3 x dx$

(4) $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1+x}{1+x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^2 x^2 e^{2x} dx$

部分積分を2回行います。

$u = x^2$, $dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = 2x dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$。

$\int x^2 e^{2x} dx = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \int x e^{2x} dx$

さらに、$u = x$, $dv = e^{2x} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{2}e^{2x}$。

$\int x e^{2x} dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \int \frac{1}{2}e^{2x} dx = \frac{1}{2}x e^{2x} - \frac{1}{4}e^{2x}$

よって、

$\int x^2 e^{2x} dx = \frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x}$

したがって、

$\int_0^2 x^2 e^{2x} dx = \left[\frac{1}{2}x^2 e^{2x} - \frac{1}{2}x e^{2x} + \frac{1}{4}e^{2x}\right]_0^2 = (2e^4 - e^4 + \frac{1}{4}e^4) - (0 - 0 + \frac{1}{4}) = \frac{5}{4}e^4 - \frac{1}{4} = \frac{5e^4 - 1}{4}$

(2) $\int_0^{a/2} \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

$x = a\sin\theta$ と置換すると、$dx = a\cos\theta d\theta$。

積分範囲は、$x: 0 \to a/2$ なので、$\theta: 0 \to \pi/6$。

$\int_0^{a/2} \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \int_0^{\pi/6} \frac{a\cos\theta}{\sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta}} d\theta = \int_0^{\pi/6} \frac{a\cos\theta}{a\cos\theta} d\theta = \int_0^{\pi/6} d\theta = \left[\theta\right]_0^{\pi/6} = \frac{\pi}{6}$

(3) $\int_0^{\pi/4} \cos^3 x dx$

$\cos^3 x = \cos x (1 - \sin^2 x) = \cos x - \cos x \sin^2 x$

$\int \cos^3 x dx = \int \cos x dx - \int \cos x \sin^2 x dx = \sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x$

したがって、

$\int_0^{\pi/4} \cos^3 x dx = \left[\sin x - \frac{1}{3}\sin^3 x\right]_0^{\pi/4} = (\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3}(\frac{1}{\sqrt{2}})^3) - (0) = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{3}\frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{6\sqrt{2}} = \frac{6 - 1}{6\sqrt{2}} = \frac{5}{6\sqrt{2}} = \frac{5\sqrt{2}}{12}$

(4) $\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1+x}{1+x^2} dx$

$\int \frac{1+x}{1+x^2} dx = \int \frac{1}{1+x^2} dx + \int \frac{x}{1+x^2} dx = \arctan x + \frac{1}{2}\log(1+x^2)$

したがって、

$\int_0^{\sqrt{3}} \frac{1+x}{1+x^2} dx = \left[\arctan x + \frac{1}{2}\log(1+x^2)\right]_0^{\sqrt{3}} = (\arctan\sqrt{3} + \frac{1}{2}\log(1+3)) - (\arctan 0 + \frac{1}{2}\log(1+0)) = (\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}\log 4) - (0 + 0) = \frac{\pi}{3} + \log 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5e^4 - 1}{4}$

(2) $\frac{\pi}{6}$

(3) $\frac{5\sqrt{2}}{12}$

(4) $\frac{\pi}{3} + \log 2$