定積分 $\int_{-2}^3 \frac{x}{x^2+1} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-2}^3 \frac{x}{x^2+1} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{x}{x^2+1} dx$ を求めます。

$u = x^2+1$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

よって、

$$\int \frac{x}{x^2+1} dx = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln(x^2+1) + C$$

ここで、$x^2+1$ は常に正なので絶対値を外しました。

次に、定積分を計算します。

$$\int_{-2}^3 \frac{x}{x^2+1} dx = \left[ \frac{1}{2} \ln(x^2+1) \right]_{-2}^3 = \frac{1}{2} \ln(3^2+1) - \frac{1}{2} \ln((-2)^2+1) = \frac{1}{2} \ln(10) - \frac{1}{2} \ln(5)$$

対数の性質 $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$ を使うと、

$$\frac{1}{2} \ln(10) - \frac{1}{2} \ln(5) = \frac{1}{2} (\ln(10) - \ln(5)) = \frac{1}{2} \ln \left( \frac{10}{5} \right) = \frac{1}{2} \ln 2$$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2} \ln 2$