関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。 $f(x) = \begin{cases} ax, & x \le 1 \\ \frac{x^3 - x}{x^2 + x - 2}, & x > 1 \end{cases}$ この関数が実数全体で連続になるような定数 $a$ の値を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されています。

$f(x) = \begin{cases} ax, & x \le 1 \\ \frac{x^3 - x}{x^2 + x - 2}, & x > 1 \end{cases}$

この関数が実数全体で連続になるような定数 $a$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ が実数全体で連続になるためには、$x = 1$ で連続である必要があります。

$x < 1$ では $f(x) = ax$ は連続であり、$x > 1$ では $f(x) = \frac{x^3 - x}{x^2 + x - 2}$ も連続です。

したがって、$x=1$ での連続性を確認します。

$x=1$ で連続であるためには、以下の条件が成り立つ必要があります。

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$

まず、$f(1)$ を計算します。

$f(1) = a \cdot 1 = a$

次に、$\lim_{x \to 1^-} f(x)$ を計算します。

$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} ax = a \cdot 1 = a$

次に、$\lim_{x \to 1^+} f(x)$ を計算します。

$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} \frac{x^3 - x}{x^2 + x - 2}$

分母と分子を因数分解します。

$x^3 - x = x(x^2 - 1) = x(x - 1)(x + 1)$

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2)$

したがって、

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x^3 - x}{x^2 + x - 2} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x(x - 1)(x + 1)}{(x - 1)(x + 2)} = \lim_{x \to 1^+} \frac{x(x + 1)}{x + 2}$

$x$ を $1$ に近づけると、

$\lim_{x \to 1^+} \frac{x(x + 1)}{x + 2} = \frac{1(1 + 1)}{1 + 2} = \frac{1 \cdot 2}{3} = \frac{2}{3}$

$x = 1$ で連続であるためには、

$a = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{2}{3}$