与えられた3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = x \sin^3 x$ (2) $y = \cos^{-1} \sqrt{x-1}$ (3) $y = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = x \sin^3 x$

(2) $y = \cos^{-1} \sqrt{x-1}$

(3) $y = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x \sin^3 x$ の微分：

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ と合成関数の微分公式を使います。

$u = x$ と $v = \sin^3 x$ とすると、$u' = 1$ です。

$v = \sin^3 x$ の微分は、まず $v = w^3$ ($w = \sin x$) と見て微分すると $\frac{dv}{dw} = 3w^2$。

次に $w = \sin x$ を微分すると $\frac{dw}{dx} = \cos x$。

合成関数の微分より、$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx} = 3 \sin^2 x \cos x$

したがって、$y' = u'v + uv' = 1 \cdot \sin^3 x + x \cdot 3 \sin^2 x \cos x = \sin^3 x + 3x \sin^2 x \cos x$

(2) $y = \cos^{-1} \sqrt{x-1}$ の微分：

合成関数の微分公式を使います。

$y = \cos^{-1} u$、$u = \sqrt{v}$、$v = x-1$ と分解します。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$

$\frac{du}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{v}}$

$\frac{dv}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(x-1)}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}} \cdot 1 = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}\sqrt{2-x}}$

(3) $y = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} \cdot x$ の微分：

$y = x \sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ と変形します。

積の微分公式 $(uv)' = u'v + uv'$ を使います。

$u = x$, $v = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}}$ とすると、$u' = 1$

$v = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} = \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{1/2}$

$w = \frac{x+2}{x-1}$ とおくと、$v = w^{1/2}$ であり、$\frac{dv}{dw} = \frac{1}{2} w^{-1/2}$

$\frac{dw}{dx} = \frac{(x+2)'(x-1)-(x+2)(x-1)'}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)-(x+2)}{(x-1)^2} = \frac{-3}{(x-1)^2}$

$\frac{dv}{dx} = \frac{dv}{dw} \cdot \frac{dw}{dx} = \frac{1}{2} \left(\frac{x+2}{x-1}\right)^{-1/2} \cdot \frac{-3}{(x-1)^2} = \frac{-3}{2(x-1)^2} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$

$y' = u'v + uv' = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} + x \cdot \frac{-3}{2(x-1)^2} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}} = \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} - \frac{3x}{2(x-1)^2} \sqrt{\frac{x-1}{x+2}}$

$= \sqrt{\frac{x+2}{x-1}} - \frac{3x}{2(x-1)\sqrt{(x-1)(x+2)}}$

$= \frac{2(x-1)(x+2) - 3x}{2(x-1)\sqrt{(x-1)(x+2)}}$

$= \frac{2x^2 + 2x - 4 - 3x}{2(x-1)\sqrt{(x-1)(x+2)}}$

$= \frac{2x^2 - x - 4}{2(x-1)\sqrt{(x-1)(x+2)}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \sin^3 x + 3x \sin^2 x \cos x$

(2) $y' = -\frac{1}{2\sqrt{x-1}\sqrt{2-x}}$

(3) $y' = \frac{2x^2 - x - 4}{2(x-1)\sqrt{(x-1)(x+2)}}$