問題3は、与えられた関数のn次導関数を求める問題です。問題1.7は、与えられた関数を微分する問題です。 問題3： (1) $x^m$（$m < 0, n \leq m, 0 \leq m < n$の場合分け） (2) $\frac{1}{1+x}$ (3) $\frac{1}{1-x}$ (4) $\frac{1}{(1-x)^2}$ 問題1.7： (1) $\{(x^a + 1)^b + 1\}^c$ (2) $\sqrt{\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}}}$

1. 問題の内容

問題3は、与えられた関数のn次導関数を求める問題です。問題1.7は、与えられた関数を微分する問題です。

問題3：

(1) $x^m$（$m < 0, n \leq m, 0 \leq m < n$の場合分け）

(2) $\frac{1}{1+x}$

(3) $\frac{1}{1-x}$

(4) $\frac{1}{(1-x)^2}$

問題1.7：

(1) $\{(x^a + 1)^b + 1\}^c$

(2) $\sqrt{\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}}}$

2. 解き方の手順

問題3：

(1) $x^m$ のn次導関数：

$m < 0$の場合、$n \leq m$はあり得ません。$0 \leq m < n$の場合も、n次導関数は0になります。

(2) $\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$ のn次導関数：

1次導関数：$-(1+x)^{-2}$

2次導関数：$2(1+x)^{-3}$

3次導関数：$-6(1+x)^{-4}$

一般的に、n次導関数は、

$\frac{d^n}{dx^n} (1+x)^{-1} = (-1)^n n! (1+x)^{-n-1} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

(3) $\frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1}$ のn次導関数：

1次導関数：$(1-x)^{-2}$

2次導関数：$2(1-x)^{-3}$

3次導関数：$6(1-x)^{-4}$

一般的に、n次導関数は、

$\frac{d^n}{dx^n} (1-x)^{-1} = n! (1-x)^{-n-1} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

(4) $\frac{1}{(1-x)^2} = (1-x)^{-2}$ のn次導関数：

1次導関数：$2(1-x)^{-3}$

2次導関数：$6(1-x)^{-4}$

3次導関数：$24(1-x)^{-5}$

一般的に、n次導関数は、

$\frac{d^n}{dx^n} (1-x)^{-2} = (n+1)! (1-x)^{-n-2} = \frac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}$

問題1.7：

(1) $y = \{(x^a + 1)^b + 1\}^c$ の微分：

$\frac{dy}{dx} = c\{(x^a + 1)^b + 1\}^{c-1} \cdot b(x^a + 1)^{b-1} \cdot ax^{a-1}$

$\frac{dy}{dx} = abc\{(x^a + 1)^b + 1\}^{c-1} (x^a + 1)^{b-1} x^{a-1}$

(2) $y = \sqrt{\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}}} = \sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x+1}}} = (1 + (x+1)^{-1/2})^{1/2}$ の微分：

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (1 + (x+1)^{-1/2})^{-1/2} \cdot (-\frac{1}{2}) (x+1)^{-3/2} = -\frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{\sqrt{x+1}}}} \frac{1}{(x+1)^{3/2}}$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{\frac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}}}} \frac{1}{(x+1)^{3/2}} = -\frac{1}{4} \sqrt{\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}+1}} \frac{1}{(x+1)^{3/2}}$

3. 最終的な答え

問題3：

(1) $x^m$ のn次導関数：0

(2) $\frac{1}{1+x}$ のn次導関数：$\frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

(3) $\frac{1}{1-x}$ のn次導関数：$\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$

(4) $\frac{1}{(1-x)^2}$ のn次導関数：$\frac{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}$

問題1.7：

(1) $\frac{dy}{dx} = abc\{(x^a + 1)^b + 1\}^{c-1} (x^a + 1)^{b-1} x^{a-1}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{4} \sqrt{\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}+1}} \frac{1}{(x+1)^{3/2}}$