積分 $I = \int 2^{-3x} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

積分 $I = \int 2^{-3x} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$2^{-3x}$ を $e$ を底とする指数関数に変換します。

$2^{-3x} = e^{\ln(2^{-3x})} = e^{-3x\ln(2)}$ となります。

したがって、$I = \int e^{-3x\ln(2)} dx$ です。

次に、置換積分を行います。$u = -3x\ln(2)$ と置くと、$du = -3\ln(2)dx$ となり、$dx = \frac{du}{-3\ln(2)}$ となります。

したがって、$I = \int e^{u} \frac{du}{-3\ln(2)} = \frac{1}{-3\ln(2)} \int e^{u} du = \frac{1}{-3\ln(2)} e^{u} + C$ となります。

ここで、$u$ を $-3x\ln(2)$ に戻すと、$I = \frac{1}{-3\ln(2)} e^{-3x\ln(2)} + C = \frac{1}{-3\ln(2)} 2^{-3x} + C$ となります。

3. 最終的な答え

$I = -\frac{2^{-3x}}{3\ln 2} + C$