数列 $\{a_n\}$ が $a_0 = 1$, $a_n = a_{n-1} + \frac{(-1)^n}{n!}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) によって定義されている。 (1) $m$ を自然数とするとき、$a_{2m-2} > a_{2m}$, $a_{2m-1} < a_{2m+1}$ を示す。 (2) $n \ge 2$ のとき、$0 < a_n < 1$ を示す。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_0 = 1$, $a_n = a_{n-1} + \frac{(-1)^n}{n!}$ ($n=1, 2, 3, \dots$) によって定義されている。

(1) $m$ を自然数とするとき、$a_{2m-2} > a_{2m}$, $a_{2m-1} < a_{2m+1}$ を示す。

(2) $n \ge 2$ のとき、$0 < a_n < 1$ を示す。

2. 解き方の手順

(1) まず、$a_n$ の定義式から、$a_{n} - a_{n-2}$ を考える。

$a_{n} = a_{n-1} + \frac{(-1)^n}{n!}$ より、$a_{n-1} = a_{n-2} + \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$。

したがって、$a_n = a_{n-2} + \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} + \frac{(-1)^n}{n!} = a_{n-2} + \frac{(-1)^{n-1}n + (-1)^n}{n!} = a_{n-2} + \frac{(-1)^{n-1}(n-1)}{n!}$ となる。

よって、$a_n - a_{n-2} = \frac{(-1)^{n-1}(n-1)}{n!}$ である。

$n = 2m$ とすると、$a_{2m} - a_{2m-2} = \frac{(-1)^{2m-1}(2m-1)}{(2m)!} = -\frac{2m-1}{(2m)!}$。

$2m-1 > 0$ かつ $(2m)! > 0$ より、$-\frac{2m-1}{(2m)!} < 0$。

したがって、$a_{2m} - a_{2m-2} < 0$ より、$a_{2m-2} > a_{2m}$。

次に、$n = 2m+1$ とすると、$a_{2m+1} - a_{2m-1} = \frac{(-1)^{2m}(2m)}{(2m+1)!} = \frac{2m}{(2m+1)!}$。

$2m > 0$ かつ $(2m+1)! > 0$ より、$\frac{2m}{(2m+1)!} > 0$。

したがって、$a_{2m+1} - a_{2m-1} > 0$ より、$a_{2m-1} < a_{2m+1}$。

(2) $a_n = a_{n-1} + \frac{(-1)^n}{n!}$ より、$a_n = a_0 + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!} = 1 + \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^k}{k!}$。

$a_1 = 1 + \frac{(-1)^1}{1!} = 1 - 1 = 0$.

$a_2 = 1 + \frac{(-1)^1}{1!} + \frac{(-1)^2}{2!} = 1 - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

$a_3 = \frac{1}{2} + \frac{(-1)^3}{3!} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{3-1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

$a_4 = \frac{1}{3} + \frac{(-1)^4}{4!} = \frac{1}{3} + \frac{1}{24} = \frac{8+1}{24} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$.

数列の最初のいくつかの項は、$1, 0, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{3}{8}, \dots$ である。

$a_n$ を $e^{-1}$ のテイラー展開と比較する。$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}$ より、$e^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots$。

$a_n$ は $e^{-1}$ の部分和である。$e^{-1} > 0$ である。

$a_{2m} = \sum_{k=0}^{2m} \frac{(-1)^k}{k!} = 1 - 1 + \frac{1}{2!} - \dots + \frac{1}{(2m)!}$。これは正の数である。

$a_{2m+1} = \sum_{k=0}^{2m+1} \frac{(-1)^k}{k!}$。

$a_n = a_{n-2} + \frac{(-1)^{n-1}(n-1)}{n!}$ を使う。

$n \ge 2$ より、$a_n > 0$。

$a_{2m-2} > a_{2m}$ より、$a_{2m} < a_0 = 1$。

$a_{2m-1} < a_{2m+1}$ と $a_1 = 0$ より、$a_{2m+1} > 0$。

また、$a_{2m+1} = a_{2m} + \frac{(-1)^{2m+1}}{(2m+1)!} = a_{2m} - \frac{1}{(2m+1)!} < a_{2m} < 1$。

3. 最終的な答え

(1) $a_{2m-2} > a_{2m}$, $a_{2m-1} < a_{2m+1}$

(2) $0 < a_n < 1$ （$n \ge 2$）