与えられた関数の極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限 $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 2x} + x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{x^2 + 2x} + x$ の形を解消するために、有理化を行います。つまり、$\sqrt{x^2 + 2x} - x$ を分子と分母に掛けます。

$\sqrt{x^2 + 2x} + x = \frac{(\sqrt{x^2 + 2x} + x)(\sqrt{x^2 + 2x} - x)}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

分子を展開すると、

$(\sqrt{x^2 + 2x})^2 - x^2 = (x^2 + 2x) - x^2 = 2x$

したがって、

$\sqrt{x^2 + 2x} + x = \frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x}$

ここで、$x > 0$ のとき、$\sqrt{x^2} = x$ なので、分母の $\sqrt{x^2 + 2x}$ から $x$ をくくり出すことを考えます。

$\sqrt{x^2 + 2x} = \sqrt{x^2(1 + \frac{2}{x})} = x\sqrt{1 + \frac{2}{x}}$

したがって、

$\frac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} - x} = \frac{2x}{x\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - x} = \frac{2x}{x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1)} = \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1}$

この形では、$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ であり、分母が $0$ に近づくため、さらに変形が必要です。

再度、分母を有理化します。

$\frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1} = \frac{2(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}{(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} - 1)(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)} = \frac{2(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}{(1 + \frac{2}{x}) - 1} = \frac{2(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)}{\frac{2}{x}} = x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1)$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{2}{x} \to 0$ なので、$\sqrt{1 + \frac{2}{x}} \to \sqrt{1} = 1$。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} x(\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1) = \lim_{x \to \infty} x(1 + 1) = \lim_{x \to \infty} 2x = \infty$

3. 最終的な答え

$\infty$