$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x}-x)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x}-x)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、まず$\sqrt{x^2+x}-x$を有理化します。

$\sqrt{x^2+x}-x = (\sqrt{x^2+x}-x) \cdot \frac{\sqrt{x^2+x}+x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{(x^2+x) - x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}$

次に、分子と分母を$x$で割ります。ただし、分母の$\sqrt{x^2+x}$を$x$で割る際には、$\sqrt{x^2}$を$x$と考える必要があります。（$x \to \infty$なので、$x>0$）

$\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{1}{\frac{\sqrt{x^2+x}}{x}+1} = \frac{1}{\sqrt{\frac{x^2+x}{x^2}}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1}$

ここで、$x \to \infty$のとき、$\frac{1}{x} \to 0$となるので、

$\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x}}+1} = \frac{1}{\sqrt{1+0}+1} = \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$