$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2 - 1} = \frac{1}{8}$ が成り立つように、$a$ と $b$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a}+b}{x^2 - 1} = \frac{1}{8}$ が成り立つように、$a$ と $b$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母 $x^2 - 1$ は 0 に近づきます。極限が存在するためには、分子 $\sqrt{x+a} + b$ も 0 に近づく必要があります。したがって、

$$\sqrt{1+a} + b = 0$$

が成り立ちます。 これより、$b = -\sqrt{1+a}$ が得られます。

次に、与えられた極限の式を変形します。

$$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{1+a}}{x^2 - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x+a} - \sqrt{1+a}}{(x-1)(x+1)}$$

分子を有理化します。

$$\lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x+a} - \sqrt{1+a})(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})} = \lim_{x \to 1} \frac{(x+a) - (1+a)}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})}$$

$$= \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x+a} + \sqrt{1+a})}$$

$x \to 1$ のときの極限を計算します。

$$\frac{1}{(1+1)(\sqrt{1+a} + \sqrt{1+a})} = \frac{1}{2(2\sqrt{1+a})} = \frac{1}{4\sqrt{1+a}}$$

これが $\frac{1}{8}$ に等しいので、

$$\frac{1}{4\sqrt{1+a}} = \frac{1}{8}$$

$$4\sqrt{1+a} = 8$$

$$\sqrt{1+a} = 2$$

$$1+a = 4$$

$$a = 3$$

$b = -\sqrt{1+a} = -\sqrt{1+3} = -\sqrt{4} = -2$

したがって、$a=3$、$b=-2$ です。

3. 最終的な答え

$(a, b) = (3, -2)$

選択肢3が正解です。