極限 $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-a}+b}{x^2-1} = \frac{1}{8}$ が成り立つような $a, b$ の値を求める。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-a}+b}{x^2-1} = \frac{1}{8}$ が成り立つような $a, b$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$x \to 1$ のとき、分母 $x^2-1$ は $0$ に近づくので、極限が存在するためには、分子 $\sqrt{x-a}+b$ も $0$ に近づく必要がある。したがって、

$\sqrt{1-a}+b=0$

$b=-\sqrt{1-a}$

次に、与えられた極限の式を変形する。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-a}-\sqrt{1-a}}{x^2-1} = \frac{1}{8}$

分子を有理化する。

$\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x-a}-\sqrt{1-a}}{x^2-1} = \lim_{x \to 1} \frac{(\sqrt{x-a}-\sqrt{1-a})(\sqrt{x-a}+\sqrt{1-a})}{(x^2-1)(\sqrt{x-a}+\sqrt{1-a})} = \lim_{x \to 1} \frac{x-a-(1-a)}{(x^2-1)(\sqrt{x-a}+\sqrt{1-a})}$

$= \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{(x-1)(x+1)(\sqrt{x-a}+\sqrt{1-a})} = \lim_{x \to 1} \frac{1}{(x+1)(\sqrt{x-a}+\sqrt{1-a})}$

$x \to 1$ の極限を取ると、

$\frac{1}{(1+1)(\sqrt{1-a}+\sqrt{1-a})} = \frac{1}{2(2\sqrt{1-a})} = \frac{1}{4\sqrt{1-a}}$

これが $\frac{1}{8}$ に等しいので、

$\frac{1}{4\sqrt{1-a}} = \frac{1}{8}$

$4\sqrt{1-a} = 8$

$\sqrt{1-a} = 2$

$1-a = 4$

$a = -3$

$b = -\sqrt{1-a} = -\sqrt{1-(-3)} = -\sqrt{4} = -2$

3. 最終的な答え

$a = -3$

$b = -2$