$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - ax)$ が収束するような $a$ の値と、そのときの極限値を求めよ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - ax)$ が収束するような $a$ の値と、そのときの極限値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた極限を収束させるためには、$x \to \infty$ で $\sqrt{x^2 + 3x}$ と $ax$ の大きさが同程度でなければならない。

$\sqrt{x^2 + 3x}$ は $x$ と同程度の大きさであるから、$a$ は正の数でなければならない。

$\sqrt{x^2+3x}-ax$ を有理化することを考える。

$\sqrt{x^2 + 3x} - ax = \frac{(\sqrt{x^2 + 3x} - ax)(\sqrt{x^2 + 3x} + ax)}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax}$

$= \frac{x^2 + 3x - a^2x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax} = \frac{(1 - a^2)x^2 + 3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + ax}$

極限が有限の値に収束するためには、$x^2$ の項が消える必要がある。したがって、$1 - a^2 = 0$ でなければならない。

$1 - a^2 = 0$ より、$a = \pm 1$ となるが、$a$ は正の数である必要があるため、$a = 1$ である。

$a = 1$ のとき、

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2 + 3x} - x) = \lim_{x \to \infty} \frac{(1 - 1)x^2 + 3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \lim_{x \to \infty} \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x}$

分母分子を $x$ で割ると、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{3}{x} \to 0$ であるから、

$\lim_{x \to \infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2}$

3. 最終的な答え

$a = 1$ のとき、極限値は $\frac{3}{2}$ である。